Descripción:
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor
del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la
variable tiende a cero.
La derivada de una función es
una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función
matemática, según cambie el valor de su variable independiente
Se calcula
como el límite de
la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más
pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en
un punto dado.
La derivada
de una función f en un punto x se
denota como f′(x). La función cuyo
valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′
Contexto
de aplicación
La
derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en rojo; la tangente a la
curva está dibujada en verde)
En la arquitectura, se utiliza en las
construcciones propuestas que requieren de cálculos especiales, las cuales no
se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas. Cuando se tiene que
calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares ¿cómo se
calcula? Realmente hay tantas cosas que se pueden construir y calcular de
manera limitada, básicamente por las dificultades técnicas para la ejecución de
las obras, pero si haces el cálculo preciso en el tiempo indicado tendrás éxito
en tus proyectos.
Además las derivaciones se las utiliza para hallar
máximos, mínimos, concavidad, convexidad, inflexiones de alguna figura geométrica.
Superficie paraboloide
Tipo de
arquitectura.
Se
lo utiliza en todo tipo de arquitectura; tradicional y moderna.
Fórmulas:
Derivada de una suma
Derivada de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de una constante partida por una función
Derivada de un cociente
Ejercicio:
· 
· 
Video de derivadas:
Las derivadas también se las
utiliza en la construcción de parques de diversiones o atracciones, en cada uno
de los juegos mecánicos y espectáculos que se brinda al público, ya que
estos deben contar con una infraestructura segura y resistente, puesto que
muchos de ellos son de tipo caída libre donde es necesario hacer un análisis de
la rapidez, velocidad e inercia en cada momento del movimiento del juego
mecánico y esto se consigue aplicando las derivadas de las funciones
correspondientes.
Los juegos mecánicos más comunes
son: la montaña rusa, el aro de fuego, la rueda moscovita, las torres de caída
libre y la barca pirata.
Bibliografía:
REGLA DE LA CADENA
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de
derivadas cuando existe composición de funciones.
FORMULA:
[u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x)
EJERCICIO
Calcular
la derivada de f(x) = (x2 + 1)3.
RESOLUCIÓN:
· Si u
= x2 + 1,
u' = 2x
En
este caso m = 3
· f'(x)
= 3 (x2 + 1)2 · 2x =
6x (x2 + 1)2
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
EJERCICIO:
Obtener la
ecuación de la recta tangente
PASOS
A SEGUIR:
1. Sacar la primera derivada
2. Reemplazar x y sacar pendiente
3. Reemplazar en la ecuación
PLANTEAMIENTO:
Hallar la ecuación de la recta tangente y= x2 + x +1, en los puntos (0, 1)
y= x2 + x +1
y'= 2x + 1
y'= 2(0) + 1 = 1 = PENDIENTE
RECTA TANGENTE:
Y2 – y1 = m (x2 – x1)
Y – 1 = 1 (x - 0)
Y – 1 = x
Y = x + 1
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON VALORES EXTREMOS DE F(X)
Se
definió que el movimiento de un objeto en una línea recta, horizontal 0
vertical, es un movimiento rectilíneo. Una función s = f
(t) que proporciona la coordenada del objeto sobre una recta horizontal 0
vertical se denomina función posición. La variable t representa el tiempo y el valor de la función f (t) representa una distancia dirigida, que se mide
en centímetros, metros, pies, millas, etc.
A
partir de un punto de referencia s = 0
sobre la recta. Recuerde que sobre una escala horizontal, consideramos la
dirección s positiva a la derecha de
s = 0, y sobre una escala vertical,
la dirección s positiva la consideramos hacia arriba.
EJERCICIO:
Una
partícula se mueve según la ecuación S= 2t3 - 3t2 - 12t + 8. Determine los intervalos de tiempo
cuando la partícula se desplaza hacia la derecha y la izquierda en que instante
cambia el desplazamiento de sentido y grafique el movimiento.
x
|
s
|
v
|
conclusión
|
t< -1
|
+
|
Creciente
|
|
t = -1
|
15
|
0
|
Cambio de sentido derecha a izquierda (Max relativo)
|
-1 <t< 2
|
-
|
Decreciente
|
|
t = -1
|
-12
|
0
|
Cambio de sentido izquierda
a derecha (Min relativo)
|
t > -1
|
+
|
Creciente
|
S= 2t3 - 3t2 - 12t + 8
S= t2 - t – 2
(t
- 2)(t + 1)= 0
t= 2
t= -1
NOTA:
S se reemplaza en la ecuación original y V en la derivada.
http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2012/calc/4.pdf
SEGUNDA
DERIVADA
Al derivar la derivada de una función, derivada primera,
obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda, f''(x).
EJEMPLOS:
ANÁLISIS
DE CONCAVIDAD Y LÍMITES
f''(x)> 0 …….CONCAVIDAD HACIA ARRIBA
f''(x)< 0 ……..CONCAVIDAD HACIA
ABAJO
Puntos de inflexión
Se
define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser
convexa a cóncava o de cóncava a convexa.
EJEMPLO:
F(x) = x3
F´(x)= 2 x2
F´´(x)= 6x
6x= 0
X= 0
] - ∞ , 0 [ ; ] 0 , ∞ [ ……intervalos
] - ∞ , 0 [
|
-1
|
-6
|
] 0 , ∞ [
|
1
|
6
|
·
6x = 0
6(-1)= -6
6(-1)= -6
Podemos ver en el ejemplo anterior que
en el punto x=0 (en el origen de coordenadas) la función pasa de
ser cóncava a ser convexa, por lo tanto decimos que x=0 es punto de inflexión.
http://www.sangakoo.com/es/temas/concavidad-y-convexidad-puntos-de-inflexion-de-una-funcion
